ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ

Συνδυάστε Βιβλίο (έντυπο) + e-book και κερδίστε 12.8€
Δωρεάν μεταφορικά σε όλη την Ελλάδα για αγορές άνω των 30€
credit-card

Πληρώστε σε έως άτοκες δόσεις των /μήνα με πιστωτική κάρτα.

Σε απόθεμα

Τιμή: 28,80 €

* Απαιτούμενα πεδία

Κωδικός Προϊόντος: 18561
Σγουρινάκης Ν.
  • Εκδοση: 3η 2022
  • Σχήμα: 17x24
  • Βιβλιοδεσία: Εύκαμπτη
  • Σελίδες: 224
  • ISBN: 978-960-654-644-0

Η 3η εμπλουτισμένη έκδοση του έργου «Οικονομικά Μαθηματικά Εφαρμοσμένα» αποτελεί ένα σημαντικό εγχειρίδιο-βοήθημα για την κατανόηση των μαθηματικών πράξεων και υπολογισμών που διενεργούνται στο ευρύτερο επιχειρηματικό και χρηματοπιστωτικό περιβάλλον για τον προσδιορισμό των αποτελεσμάτων εξειδικευμένων εμπορικών-τραπεζικών συναλλαγών.

Στο βιβλίο αναλύονται οι περιπτώσεις απόδοσης των χρηματικών καταθέσεων μέσω του τοκισμού τους αλλά και η τυχόν εναλλακτική τοποθέτησή τους σε άλλη επενδυτική δραστηριότητα, οι επιλογές λήψης δανείων-χρηματοδοτήσεων στο πλαίσιο του χρηματοοικονομικού τους κόστους, οι δυνατότητες χρηματοδοτικής αξιοποίησης των αξιογράφων (συναλλαγματικών-επιταγών) από τον εκδότη ή τον εκάστοτε κομιστή τους καθώς και οι αρχές σύγκρισης των κεφαλαιακών τοποθετήσεων.

Το έργο διαρθρώνεται στις εξής ενότητες:
• Στοιχεία Αριθμητικής
• Aπλός τόκος
• Προεξόφληση
• Ισοδύναμες συναλλαγματικές
• Ανατοκισμός
• Χρηματοσειρές (Ράντες)
• Δάνεια

Περιλαμβάνει Οικονομικούς Πίνακες για τον εύκολο υπολογισμό των μαθηματικών τύπων προς επίλυση προβλημάτων ενώ παράλληλα μέσα από αναλυτικά παραδείγματα και λυμένες (με τεκμηρίωση) ασκήσεις απλοποιείται η διαδικασία μαθηματικής ανάλυσης των δεδομένων και των αριθμητικών τους πράξεων.

Σκοπός του βιβλίου είναι να ενισχύσει τις γνώσεις όσων ασχολούνται στους τομείς των χρηματοπιστωτικών συναλλαγών, σε τέτοιο βαθμό, ώστε να συνειδητοποιούν τις καθημερινές καταχωρίσεις στα συστήματα των H/Y και ταυτοχρόνως να είναι σε θέση να επαληθεύουν τις αριθμητικές πράξεις, όπου αυτό είναι αναγκαίο, για να προχωρήσουν σε επεξηγήσεις αλλά και στη λήψη τελικών αποφάσεων.

Απευθύνεται σε σπουδαστές του κλάδου των Οικονομικών, της Χρηματοοικονομικής Λογιστικής (κυρίως δε, μετά την εφαρμογή των Ελληνικών Λογιστικών Προτύπων) και της Διοίκησης Επιχειρήσεων για τις ανάγκες του αντίστοιχου εκπαιδευτικού αντικειμένου.

New Page
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΙΤΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ Σελ. VII
Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ
1. Η έννοια του ποσού Σελ. 1
1.1. Σταθερό - μεταβλητό ποσό Σελ. 1
1.2. Αριθμοί Σελ. 2
1.3. Ανάλογα – αντίστροφα ποσά Σελ. 2
2. Η έννοια του ποσοστού Σελ. 3
3. Η απλή μέθοδος των τριών Σελ. 3
4. Σύνθετη μέθοδος των τριών Σελ. 4
5. Μερισμός σε μέρη ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα Σελ. 7
5.1. Αριθμοί ανάλογοι άλλων Σελ. 7
5.2. Μερισμός αριθμού σε μέρη ανάλογα Σελ. 7
5.3. Μερισμός αριθμού σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα Σελ. 8
6. Τετραγωνική ρίζα αριθμού Σελ. 9
7. Δύναμη αριθμού Σελ. 9
7.1 Ορισμός Σελ. 9
7.2 Παρατηρήσεις Σελ. 9
7.3 Ιδιότητες των δυνάμεων Σελ. 10
7.4 Εφαρμογή Σελ. 11
Β. ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ
1. Ο τόκος των χρηματικών κεφαλαίων Σελ. 13
2. Υπολογισμός του απλού τόκου Σελ. 16
2.1. Εύρεση του τόκου, του κεφαλαίου, του χρόνου και του επιτοκίου Σελ. 16
2.2. Υπολογισμός των τοκοφόρων ημερών Σελ. 19
2.3. Ο Τοκάριθμος και ο Σταθερός Διαιρέτης Σελ. 19
2.4. Το μέσο επιτόκιο Σελ. 21
2.5. Κεφάλαιο αυξημένο ή ελαττωμένο κατά τον τόκο του Σελ. 23
3. Εφαρμογές επί του απλού τόκου Σελ. 24
4. Ασκήσεις απλού τόκου προς λύση Σελ. 27
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ Σελ. 31
Γ. ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ
1. Προεξόφληση (Υφαίρεση) Σελ. 33
1.1. Εσωτερικό προεξόφλημα Σελ. 33
1.2. Εξωτερικό προεξόφλημα Σελ. 35
1.3. Εσωτερική υφαίρεση και ΦΠΑ Σελ. 36
2. Η συναλλαγματική και το γραμμάτιο σε διαταγή Σελ. 37
3. Η αξία της συναλλαγματικής κατά την προεξόφληση Σελ. 39
4. Προεξόφληση όταν υπολογίζονται και έξοδα Σελ. 40
5. Πινάκιο προεξόφλησης Σελ. 41
6. Εύρεση πραγματικού επιτοκίου προεξόφλησης Σελ. 42
7. Εύρεση της ονομαστικής αξίας όταν είναι γνωστή η παρούσα αξία μιας συναλλαγματικής Σελ. 43
8. Εφαρμογές επί της προεξόφλησης Σελ. 45
9. Ασκήσεις προεξόφλησης προς λύση Σελ. 47
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗΣ Σελ. 49
Δ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΕΣ
1. Γενικά για τις ισοδύναμες συναλλαγματικές Σελ. 51
2. Ισοδυναμία συναλλαγματικών Σελ. 52
3. Ονομαστική αξία της νέας συναλλαγματικής Σελ. 57
3.1. Εποχή ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού Σελ. 57
3.2. Εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη Σελ. 58
4. Κοινή λήξη συναλλαγματικών Σελ. 60
5. Μέση λήξη συναλλαγματικών Σελ. 60
6. Εφαρμογές στις Ισοδύναμες Συναλλαγματικές Σελ. 62
6.1. Εποχή ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού Σελ. 62
6.2. Εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη Σελ. 63
6.3. Εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη Σελ. 64
6.4. Εποχή ισοδυναμίας η 15η Απριλίου Σελ. 65
7. Ασκήσεις ισοδυναμίας και κοινής λήξης προς λύση Σελ. 66
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ Σελ. 70
Ε. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ
1. Η έννοια του Ανατοκισμού Σελ. 71
2. Ορισμοί στον ανατοκισμό και χρήση των πινάκων Σελ. 73
2.1. Ο γενικός μαθηματικός τύπος του ανατοκισμού Σελ. 74
3. Εύρεση των μεγεθών του ανατοκισμού Σελ. 77
3.1. Εύρεση της τελικής αξίας κεφαλαίου για χρονικό διάστημα στο οποίο περιέχεται και κλάσμα περιόδου Σελ. 77
3.2. Εύρεση του αρχικού κεφαλαίου όταν είναι γνωστή η τελική αξία αυτού Σελ. 78
3.3. Εύρεση του χρόνου Σελ. 80
3.4. Εύρεση του επιτοκίου Σελ. 82
4. Ανάλογο και Ισοδύναμο Επιτόκιο Σελ. 83
4.1. Ανάλογο Επιτόκιο Σελ. 83
4.2. Ισοδύναμο Επιτόκιο Σελ. 84
5. Εφαρμογές στον Ανατοκισμό Σελ. 86
5.1. Ανάλογο Επιτόκιο Σελ. 89
5.2. Ισοδύναμο Επιτόκιο Σελ. 90
6. Ασκήσεις ανατοκισμού προς λύση Σελ. 95
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΥ Σελ. 98
ΣΤ. ΧΡΗΜΑΤΟΣΕΙΡΕΣ (ΡΑΝΤΕΣ)
1. Ορισμοί και σύμβολα χρηματοσειρών Σελ. 99
2. Σταθερή και ληξιπρόθεσμη χρηματοσειρά Σελ. 101
2.1. Εύρεση της τελικής αξίας χρηματοσειράς, όταν είναι σταθερή και ληξιπρόθεσμη Σελ. 101
2.2. Εύρεση της αρχικής ή παρούσας αξίας χρηματοσειράς, όταν είναι σταθερή και ληξιπρόθεσμη Σελ. 104
2.3. Εύρεση του όρου ληξιπρόθεσμης χρηματοσειράς Σελ. 106
2.4. Εύρεση του πλήθους των όρων ληξιπρόθεσμης χρηματοσειράς Σελ. 107
2.5. Εύρεση του επιτοκίου ληξιπρόθεσμης χρηματοσειράς Σελ. 109
3. Σταθερή και προκαταβλητέα χρηματοσειρά Σελ. 109
3.1. Εύρεση της τελικής αξίας χρηματοσειράς που είναι σταθερή και προκαταβλητέα Σελ. 109
3.2. Εύρεση της αρχικής αξίας χρηματοσειράς, όταν είναι σταθερή και προκαταβλητέα Σελ. 111
4. Εφαρμογές στις χρηματοσειρές Σελ. 112
5. Ασκήσεις στις χρηματοσειρές Σελ. 117
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΧΡΗΜΑΤΟΣΕΙΡΩΝ (ΡΑΝΤΩΝ) Σελ. 119
Ζ. ΔΑΝΕΙΑ
1. Δανεισμός επιχειρήσεων Σελ. 123
2. Μεταχρονολογημένες επιταγές Σελ. 124
3. Βραχυπρόθεσμα και μακροπρόθεσμα δάνεια – Έντοκα γραμμάτια Σελ. 126
4. Δάνεια ενιαία, εξοφλητέα εντός ορισμένου χρόνου τοκοχρεολυτικώς με ίσα τοκοχρεολύσια Σελ. 132
4.1. Εύρεση του τοκοχρεολυσίου Σελ. 132
4.2. Παρατηρήσεις Σελ. 133
5. Συστήματα χρεολυσίας Σελ. 134
5.1. Σύστημα σταθερού χρεολυσίου Σελ. 134
5.2. Σύστημα προοδευτικού χρεολυσίου Σελ. 135
5.3. Περαιτέρω ανάλυση του συστήματος του προοδευτικού χρεολυσίου Σελ. 136
5.4. Μέθοδος των δύο επιτοκίων Σελ. 140
6. Μακροπρόθεσμα τραπεζικά δάνεια σε ιδιώτες Σελ. 141
7. Δάνεια που χορηγούνται με τίτλους (ομολογίες) Σελ. 142
7.1. Βασικές οικονομικές έννοιες Σελ. 142
7.2. Ομολογίες μετατρέψιμες σε μετοχές Σελ. 143
7.3. Ομολογίες με συμμετοχή στα κέρδη Σελ. 144
7.4. Διακρίσεις ομολογιών Σελ. 144
7.5. Δάνεια με ομολογίες που εξοφλούνται τοκοχρεολυτικώς στο άρτιο Σελ. 145
7.6. Δάνεια με ομολογίες που εξοφλούνται τοκοχρεολυτικώς, σε τιμή διαφορετική από το άρτιο Σελ. 151
8. Εφαρμογές επί των δανείων Σελ. 154
9. Ασκήσεις επί των δανείων Σελ. 159
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΔΑΝΕΙΩΝ Σελ. 163
Η. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
Για την λύση των προβλημάτων των Μακροπρόθεσμων Οικονομικών Πράξεων (Ανατοκισμού, Χρηματοσειρών, Δανείων)
Πίνακας Α: Τιμές της παράστασης (1 + i)n
Τελική αξία μίας (1) νομισματικής μονάδας ανατοκιζόμενης επί 1, 2, 3, 4, ... 50 περιόδους ανατοκισμού Σελ. 167
Πίνακας Α1: Τιμές της παράστασης (1 + i) μ
12
Τελική αξία μίας (1) νομισματικής μονάδας ανατοκιζόμενης επί 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 δωδέκατα της περιόδου ανατοκισμού Σελ. 173
Πίνακας Β: Τιμές της παράστασης 1 (1 + i)n
Παρούσα αξία (1) μίας νομισματικής μονάδας προεξοφλούμενης με ανατοκισμό 1, 2, 3, 4, ... 50 περιόδους ανατοκισμού,πριν από την λήξη της Σελ. 177
Πίνακας Γ: Τιμές της παράστασης S i = (1 + i)n – 1 n i
Τελική αξία χρηματοσειράς μίας (1) νομισματικής μονάδας, όρων (n) από 1-50, καταβαλλόμενης στο τέλος κάθε περιόδου ανατοκισμού Σελ. 183
Πίνακας Γ1: Τιμές της παράστασης (1 + i) x (1 + i)n – 1 i
Τελική αξία χρηματοσειράς μίας (1) νομισματικής μονάδας, όρων (n) από 1-50, καταβαλλόμενης στην αρχή κάθε περιόδου ανατοκισμού Σελ. 189
Πίνακας Δ: Τιμές της παράστασης (1 + i)n – 1 i χ (1 + i)n
Αρχική αξία χρηματοσειράς μίας (1) νομισματικής μονάδας, όρων (n) 1-50, καταβαλλόμενης στο τέλος κάθε περιόδου ανατοκισμού Σελ. 195
Πίνακας E: Τιμές της παράστασης P i = i n (1 + i)n – 1
Χρεολύσιο που καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου (1-50) ανατοκισμού και εξοφλεί δάνειο μίας (1) νομισματικής μονάδας Σελ. 201
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΗΓΕΣ Σελ. 207

Σελ. 1

Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1. Η έννοια του ποσού (μεγέθους)

1.1. Σταθερό – μεταβλητό ποσό

1.2. Αριθμοί

1.3. Ανάλογα – αντίστροφα ποσά

2. Η έννοια του ποσοστού

3. Η απλή μέθοδος των τριών

4. Η σύνθετη μέθοδος των τριών

5. Ο μερισμός σε μέρη ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα

5.1. Αριθμοί ανάλογοι άλλων

5.2. Μερισμός αριθμού σε μέρη ανάλογα

5.3. Μερισμός αριθμού σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα

6. Τετραγωνική ρίζα αριθμού

7. Δύναμη αριθμού

7.1 Ορισμός

7.2 Παρατηρήσεις

7.3 Ιδιότητες των δυνάμεων

7.4 Εφαρμογή

1. Η έννοια του ποσού

1.1. Σταθερό - μεταβλητό ποσό

Κάθε τι που μπορεί, εν δυνάμει, να αυξηθεί ή να μειωθεί καλείται ποσό ή μέγεθος. Όταν ένα ποσό, λαμβάνει διάφορες τιμές, ονομάζεται μεταβλητό ποσό, ενώ αντιθέτως, όταν έχει πάντα την ίδια τιμή, ονομάζεται σταθερό ποσό. Για παράδειγμα, οι διαστάσεις (μήκος, πλάτος, ύψος) ενός γεωμετρικού σχήματος ή πρίσματος, είναι ποσά. Ομοίως, το βάρος διαφόρων αντικειμένων, οι τιμές των αγαθών, οι χρηματικές καταθέσεις στα τραπεζικά ιδρύματα, ο τόκος που παράγουν αυτές οι καταθέσεις κ.λπ., είναι ποσά (μεγέθη). Η τιμή ενός αγαθού είναι μεταβλητό ποσό, ενώ ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς την διάμετρο του είναι ένα σταθερό ποσό (π = 3,14159). Ένα μεταβλητό ποσό είναι και

Σελ. 2

ένα εξαρτημένο ποσό. Τούτο συμβαίνει γιατί οι μεταβολές ενός ποσού, εξαρτώνται από διάφορους παράγοντες ή από άλλα ποσά. Για παράδειγμα, το κόστος απόκτησης ενός αγαθού έστω ότι εξαρτάται από το βάρος του. Αν ένας καταναλωτής ζητήσει να αγοράσει ένα κιλό αυτού του αγαθού, θα καταβάλει λόγου χάριν, 10 ευρώ. Αν ζητήσει να αγοράσει δύο ή τρία κιλά (ή υποδιαίρεση του κιλού), θα καταβάλει 20 και 30 ευρώ αντίστοιχα. Στο παράδειγμα αυτό, το κόστος απόκτησης του αγαθού είναι εξαρτημένο μεταβλητό ποσό, ενώ το βάρος του αγαθού είναι ανεξάρτητο μεταβλητό ποσό. Η σχέση εξάρτησης που υπάρχει μεταξύ τους ονομάζεται συνάρτηση. Στην περίπτωση αυτή τα ποσά αυτά συμμεταβάλλονται. Ως μαθηματικός όρος, ποσό είναι κάθε μέγεθος που επιδέχεται αύξηση ή μείωση και επομένως μπορεί να μετρηθεί και να εκφρασθεί με αριθμούς.

1.2. Αριθμοί

Αριθμός είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης όμοιων πραγμάτων, με την ευρεία έννοια. Ακέραιος αριθμός ονομάζεται η έννοια, η οποία ορίζει το πλήθος όμοιων πραγμάτων (πχ τρία βιβλία). Ένας αριθμός λέγεται διαιρετός δια ενός άλλου, αν διαιρείται ακριβώς, δια αυτού (πχ 18 δια 3 = 6 ). Αντιθέτως, ένας αριθμός λέγεται διαιρέτης άλλου, αν διαιρεί αυτόν, ακριβώς (ο αριθμός 3 στο προηγούμενο παράδειγμα). Οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς δια 2, λέγονται άρτιοι, ενώ όσοι δεν διαιρούνται ακριβώς δια 2, λέγονται περιττοί. Πρώτος λέγεται κάθε αριθμός, ο οποίος δεν έχει άλλους διαιρέτες εκτός από την μονάδα (1) και από τον εαυτό του (πχ 3, 5, 7 κ.ο.κ.). Όλοι οι λοιποί αριθμοί καλούνται σύνθετοι. Κλασματική μονάδα λέγεται κάθε ένα από τα ίσα μέρη, στα οποία χωρίζεται ένας ακέραιος αριθμός. Κλασματικός αριθμός ή κλάσμα είναι κάθε αριθμός, ο οποίος προκύπτει από μία κλασματική μονάδα, αν ληφθεί μία ή περισσότερες φορές. Μεικτός αριθμός, λέγεται ο αριθμός που αποτελείται από ακέραιο και από κλάσμα (πχ 12 1/4 = [12 χ 4 + 1] / 4 = 49 / 4 = 12,25 ). Δεκαδικός αριθμός, λέγεται ο αριθμός που αποτελείται από ακέραιο μέρος και από δεκαδικό μέρος (πχ 12,25). Συμμιγής αριθμός, λέγεται ο αριθμός που αποτελείται από άλλους αριθμούς, των οποίων οι μονάδες φέρουν ιδιαίτερα ονόματα και είναι πολλαπλάσια ή υποπολλαπλάσια μιας αρχικής μονάδας (πχ 5 ώρες 20 λεπτά 8 δεύτερα, 2 κιλά 300 γραμμάρια). Αντίστροφος αριθμός ενός δοθέντος αριθμού, είναι ο αριθμός αυτός, ο οποίος παρίσταται με κλάσμα που έχει αριθμητή την μονάδα (πχ αντίστροφος του αριθμού 4 είναι ο αριθμός 1 / 4 και αντίστροφος του αριθμού 1 / 5 είναι ο 5 / 1 ή 5). Αντίθετοι είναι οι αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο (πχ +5 και – 5 ή – 2 / 4 και + 2 / 4).

1.3. Ανάλογα – αντίστροφα ποσά

Δύο συμμεταβαλλόμενα ποσά ονομάζονται ανάλογα ποσά, όταν, εφόσον πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται η τιμή του ενός ποσού, με έναν τυχαίο αριθμό, τότε πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται και η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού, με τον ίδιο τυχαίο αριθμό. Για παράδειγμα, σε έναν κύκλο, το μήκος της περιφέρειάς του είναι ανάλογο ποσό, προς το μήκος της ακτίνας του. Ο απλός τόκος μίας χρηματικής κατάθεσης, με σταθερό

Σελ. 3

επιτόκιο και χρόνο, είναι ανάλογα ποσά. Οι αριθμοί 2, 3, 5 είναι ανάλογοι των αριθμών 10, 15, 25.

Αντιθέτως, αντίστροφα ποσά ονομάζονται δύο συμμεταβαλλόμενα ποσά, όταν, εφόσον πολλαπλασιάζεται η τιμή του ενός ποσού με έναν τυχαίο αριθμό, η τιμή του συμμεταβαλλόμενου ποσού διαιρείται δια του ιδίου τυχαίου αριθμού. Ομοίως ισχύει, εφόσον διαιρείται η τιμή του ενός ποσού δια ενός τυχαίου αριθμού, η τιμή του συμμεταβαλλόμενου ποσού πολλαπλασιάζεται επί τον τυχαίο αυτόν αριθμό. Για παράδειγμα, έστω ότι για την ολοκλήρωση ενός έργου απαιτούνται 200 ώρες εργασίας και 10 άτομα προσωπικού. Αν διπλασιάσουμε τον αριθμό των εργαζομένων ατόμων (χ 2), τότε θα απαιτούνται 100 ώρες εργασίας για την ολοκλήρωση του έργου ( / 2). Ομοίως, το πλάτος και το μήκος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, το οποίο όμως έχει σταθερό εμβαδόν, είναι δύο αντίστροφα ποσά.

2. Η έννοια του ποσοστού

Το ποσοστό είναι ένας σχετικός αριθμός, σε αντίθεση με τους απόλυτους αριθμούς που χρησιμοποιούνται στις καθημερινές μας συναλλαγές. Οι σχετικοί αριθμοί διατυπώνονται με βάση το 100 (%), στις περισσότερες των περιπτώσεων, ή με βάση το 1000 (‰) και έχουν ως στόχο τον συγκεκριμένο υπολογισμό ενός ποσού, με βάση το μέγεθος ενός άλλου. Για παράδειγμα, έμπορος χορηγεί έκπτωση 10% επί της τιμής πώλησης αγαθού, ή ο μισθός ενός εργαζόμενου αυξάνεται κατά 5%. Ομοίως, ο Φόρος επί της προστιθέμενης αξίας (ΦΠΑ) των αγαθών και υπηρεσιών, υπολογίζεται με συντελεστή 6%, ή 13%, ή 24%, ώστε να προκύψει η τελική τιμή τους, κ.λπ. Η διατύπωση του ποσοστού μικτού κέρδους επί των πωλήσεων (δηλαδή το mark up) μίας επιχείρησης, βοηθά τον αναλυτή, αναφορικώς με την εξαγωγή συμπερασμάτων, συγκρίνοντας τα αντίστοιχα ποσοστά μικτού κέρδους άλλων ομοειδών επιχειρήσεων.

3. Η απλή μέθοδος των τριών

Η απλή μέθοδος των τριών γνωστών ποσών, προς την αναζήτηση ενός τέταρτου ποσού (άγνωστο), εφαρμόζεται τόσο σε ανάλογα, όσο και σε αντίστροφα ποσά.

Παράδειγμα 1ο:

Η τιμή του ενός κιλού για ένα αγαθό είναι 5 ευρώ. Πόσο κοστίζουν τα 10 κιλά; Η κατάταξη είναι (ανάλογα ποσά, διότι τα πολλαπλάσια κιλά, του ίδιου αγαθού, θα κοστίζουν περισσότερα ευρώ):

1 κιλό κοστίζει 5 ευρώ

10 κιλά πόσο κοστίζουν;

1 / 10 = 5 / Χ ⇒ Χ = 50,00 ευρώ

Σελ. 4

Παράδειγμα 2ο:

Για την ολοκλήρωση ενός έργου απαιτούνται 300 ώρες εργασίας και δέκα (10) εργαζόμενοι. Αν προσληφθούν πέντε (5) ακόμη εργαζόμενοι, σε πόσες ώρες θα ολοκληρωθεί το έργο; Η κατάταξη είναι (αντίστροφα ποσά, διότι με περισσότερους εργαζόμενους, για το ίδιο έργο, θα απαιτηθούν λιγότερες ώρες εργασίας):

10 εργαζόμενοι ολοκληρώνουν το έργο σε 300 ώρες

15 εργαζόμενοι ολοκληρώνουν το έργο σε πόσες ώρες;

15 / 10 = 300 / Χ ⇒ 200 ώρες

4. Σύνθετη μέθοδος των τριών

Κατά την σύνθετη μέθοδο των τριών υπεισέρχονται δύο επιπλέον γνωστά ποσά (μεγέθη), τα οποία σχετίζονται με το πρόβλημα και αναζητείται το άγνωστο ποσό (Χ), μέσω ανάλογων ή αντίστροφων υπολογισμών.

Παράδειγμα 1ο (ποσά ανάλογα):

Δέκα (10) εργαζόμενοι, σε μία υπηρεσία, για 30 ώρες εργασίας κοστίζουν 3.600,00 ευρώ. Αν οι εργαζόμενοι είναι 14, πόσο θα κοστίσουν αν εργασθούν 60 ώρες (στην ίδια υπηρεσία);

Κατάταξη:

10 εργαζόμενοι για 30 ώρες εργασίας, κοστίζουν 3.600,00 ευρώ

14 εργαζόμενοι για 60 ώρες εργασίας, πόσο θα κοστίσουν (Χ);

Τα ποσά των «εργαζομένων» και το «κόστος εργασίας» τους είναι ανάλογα ποσά, διότι πχ διπλάσιος αριθμός εργαζομένων (για τον ίδιο χρόνο εργασίας), θα κοστίσουν διπλάσιο ποσό χρημάτων. Τα ποσά «ώρες εργασίας» και «κόστος εργασίας», είναι επίσης ανάλογα ποσά, διότι πχ διπλάσιες ώρες εργασίας (με τον ίδιο αριθμό εργαζομένων) θα κοστίσουν διπλάσιο ποσό χρημάτων.

Το πρόβλημα αυτό αναλύεται σε δύο επιμέρους προβλήματα απλής μεθόδου των τριών, ως εξής:

) Οι 10 εργαζόμενοι για 30 ώρες κοστίζουν 3.600,00 ευρώ

Οι 14 εργαζόμενοι για 30 ώρες πόσο θα κοστίσουν;

10 / 14 = 3.600,00 / X ⇒ X = [3.600,00 χ 14] / 10 = 5.040,00 ευρώ

(β) Οι 14 εργαζόμενοι για 30 ώρες θα κοστίσουν 5.040,00 ευρώ (ως άνω)

Οι 14 εργαζόμενοι, αν εργασθούν 60 ώρες, πόσο θα κοστίσουν;

30 / 60 = 5.040,00 / Χ ⇒ Χ = [5.040,00 χ 60] / 30 = 10.080,00 ευρώ

Σελ. 5

Ώστε, οι 14 εργαζόμενοι, αν θα εργασθούν 60 ώρες, θα κοστίσουν 10.080,00 ευρώ.

Είναι δηλαδή:

[14 /10] χ [60 / 30] χ 3.600,00 = 1,40 χ 2,00 χ 3.600,00 = 10.080,00 ευρώ

Επειδή τα ποσά (εργαζομένων και ωρών εργασίας) είναι ανάλογα προς το ποσό του αγνώστου, τα κλάσματα αντιστρέφονται, για να γίνουν οι σχετικές πράξεις, με πολλαπλασιασμό τους, επί το ποσό που είναι πάνω από τον άγνωστο (Χ).

Παράδειγμα 2ο (ποσά ανάλογα και αντίστροφα):

Οκτώ (8) εργαζόμενοι σε 6 ημέρες ολοκληρώνουν την εκσκαφή αγρού 12 στρεμμάτων. Σε πόσες ημέρες 10 εργαζόμενοι, θα ολοκληρώσουν την εκσκαφή άλλου αγρού 5 στρεμμάτων;

Κατάταξη:

8 εργαζόμενοι ολοκληρώνουν εκσκαφή αγρού 12 στρεμμάτων σε 6 ημέρες εργασίας

10 εργαζόμενοι θα ολοκληρώσουν εκσκαφή αγρού 5 στρεμμάτων σε Χ ημέρες εργασίας;

Τα ποσά των «εργαζομένων» και οι «ημέρες εργασίας» είναι αντίστροφα ποσά, διότι πχ διπλάσιος αριθμός εργαζομένων (για τον ίδιο αριθμό στρεμμάτων), θα χρειασθούν υποδιπλάσιες (δηλαδή λιγότερες) ημέρες εργασίας. Τα ποσά «αριθμός στρεμμάτων» και «ημέρες εργασίας», είναι ανάλογα ποσά, διότι πχ για διπλάσιο αριθμό στρεμμάτων (με τον ίδιο αριθμό εργαζομένων) θα απαιτηθεί διπλάσιος αριθμός ημερών εργασίας, για την εκσκαφή.

Το πρόβλημα αυτό, όπως και το προηγούμενο, αναλύεται σε δύο επιμέρους προβλήματα απλής μεθόδου των τριών, ως εξής:

(α) Οι 8 εργαζόμενοι για την εκσκαφή αγρού 12 στρεμμάτων, χρειάζονται 6 ημέρες

Οι 10 εργαζόμενοι για τον ίδιο αριθμό στρεμμάτων (12), πόσες ημέρες θα χρειασθούν;

10 / 8 = 6 / X ⇒ X = [8 χ 6] / 10 =4,8 ημέρες

(β) Οι 10 εργαζόμενοι για την εκσκαφή αγρού 12 στρεμμάτων θα χρειασθούν 4,8 ημέρες

Οι 10 εργαζόμενοι, για την εκσκαφή αγρού 5 στρεμμάτων, πόσες ημέρες θα χρειασθούν;

12 / 5 = 4,8 / Χ ⇒ Χ = [4,8 χ 5] / 12 = 2 ημέρες

Συνεπώς, οι 10 εργαζόμενοι θα χρειασθούν 2 ημέρες για την εκσκαφή αγρού 5 στρεμμάτων.

Σελ. 6

Είναι δηλαδή:

[8 /10] χ [5 / 12] χ 6 = 0,80 χ 0,4166666 χ 6 = 2 ημέρες

Βλέπουμε την αρχική κατάταξη: Επειδή τα ποσά «εργαζομένων» και «ημερών εργασίας» είναι αντίστροφα προς το ποσό του αγνώστου, το κλάσμα μένει ως έχει, ενώ επειδή τα ποσά «αριθμός στρεμμάτων» και «ημερών εργασίας», είναι ανάλογα το κλάσμα αντιστρέφεται για να γίνουν οι σχετικές πράξεις, με πολλαπλασιασμό τους, επί το ποσό που είναι πάνω από τον άγνωστο (Χ).

Κανόνας:

Από τον συνδυασμό των δύο ως άνω προβλημάτων, προκύπτει ο κανόνας της σύνθετης μεθόδου των τριών: «Για να υπολογίσουμε την τιμή του αγνώστου (Χ) σε ένα πρόβλημα σύνθετης μεθόδου των τριών, πολλαπλασιάζουμε τον υπεράνω του (Χ) αριθμό επί την τιμήν καθενός κλάσματος, τα οποία σχηματίζονται από τις δύο τιμές κάθε ποσού, όπως έχει μεν, αν το ποσό αυτό είναι αντίστροφο προς το ποσό του αγνώστου, αντεστραμμένο δε, αν είναι ανάλογο προς αυτό».

Παράδειγμα 3ο (εφαρμογή του κανόνα):

Ένα χρηματικό κεφάλαιο κατατίθεται σε τραπεζικό λογαριασμό με επιτόκιο 4%, για 120 ημέρες και αποδίδει τόκο 250,00 ευρώ. Αν το ίδιο κεφάλαιο κατατεθεί για 150 ημέρες, με επιτόκιο 5%, ποιο ποσό τόκου θα αποδώσει;

Κατάταξη:

Κεφάλαιο, για 120 ημέρες, προς 4% επιτόκιο, αποδίδει τόκο 250,00 ευρώ

Το ίδιο κεφάλαιο, για 150 ημέρες, προς 5% επιτόκιο, πόσο τόκο (Χ) θα αποδώσει;

Τα ποσά «ημέρες» και «τόκος» είναι ανάλογα, διότι πχ για διπλάσιες ημέρες θα λάβουμε διπλάσιο τόκο (εννοείται, με σταθερό επιτόκιο). Ομοίως, τα ποσά «επιτόκιο» και «τόκος» είναι ανάλογα, διότι πχ με διπλασιασμό του επιτοκίου, θα λάβουμε διπλάσιο τόκο (εννοείται, με σταθερό κεφάλαιο και για ίδιο χρονικό διάστημα). Συνεπώς, αντιστρέφονται τα κλάσματα και πολλαπλασιάζονται με τον αριθμό που βρίσκεται υπεράνω του αγνώστου (Χ):

[150 / 120] χ [0,05 / 0,04] χ 250,00 = 1,25 χ 1,25 χ 250,00 = 390,625 ευρώ

Ώστε, το κεφάλαιο θα αποδώσει τόκο 390,625 ευρώ, αν κατατεθεί προς 5% επιτόκιο για 150 ημέρες.

Σελ. 7

5. Μερισμός σε μέρη ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα

5.1. Αριθμοί ανάλογοι άλλων

Έστω οι αριθμοί: 3, 4, 7. Εάν πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς αυτούς με έναν τυχαίο αριθμό, πχ τον 5, προκύπτουν οι αριθμοί: 15, 20, 35. Οι αριθμοί αυτοί 15, 20 και 35 λέγονται ανάλογοι προς τους 3, 4 και 7 αντιστοίχως. Αλλά και αντιστρόφως, οι αριθμοί 3, 4 και 7 λέγονται ανάλογοι προς τους 15, 20 και 35, διότι αποδεικνύεται ότι προέρχονται από αυτούς με τον πολλαπλασιασμό τους επί τον αριθμό (κλάσμα) 1 / 5:

15 χ 1 / 5 = 3 και 20 χ 1 / 5 = 4 και 35 χ 1 / 5 = 7

Επομένως, δύο ή περισσότεροι αριθμοί λέγονται ανάλογοι προς άλλους ισοπληθείς, εάν προκύπτουν από αυτούς με τον πολλαπλασιασμό τους επί τον αυτόν αριθμό.

5.2. Μερισμός αριθμού σε μέρη ανάλογα

Όταν αναφερόμαστε στον μερισμό ενός αριθμού Α σε μέρη ανάλογα δοθέντων αριθμών, σημαίνει ότι αναζητούμε τόσους αριθμούς, όσοι είναι οι δοθέντες αριθμοί, οι οποίοι θα έχουν τελικό άθροισμα τον δοθέντα αριθμό Α.

Παράδειγμα 1ο:

Να μερισθεί το ποσό των 90.000,00 ευρώ, σε μέρη ανάλογα των αριθμών 3, 5 και 7. Ο αριθμός των 90.000,00 ευρώ ονομάζεται μεριστέος αριθμός (αριθμός που πρέπει να μερισθεί). Οι αριθμοί 3, 5 και 7 είναι οι δοθέντες αριθμοί, βάσει των οποίων θα γίνει ο μερισμός, αναλογικώς.

Αθροίζουμε:

3 + 5 + 7 = 15

και δημιουργούμε τα κλάσματα: 3 / 15, 5 / 15 και 7 / 15.

Ακολούθως, παίρνουμε τα 3 / 15, τα 5 / 15 και τα 7 / 15 του μεριστέου αριθμού 90.000 ευρώ:

90.000,00 χ 3 / 15 = 18.000,00 ευρώ

90.000,00 χ 5 / 15 = 30.000,00 ευρώ

90.000,00 χ 7 / 15 = 42.000,00 ευρώ

Σύνολο...........90.000,00 ευρώ

Παράδειγμα 2ο:

Τέσσερις εργαζόμενοι συγκεντρώνουν κόστος εργασίας 4.200,00 ευρώ, σε χρονικό διάστημα 10 εργασίμων ημερών. Ο Α εργαζόμενος εργάσθηκε επί 5 ημέρες και επί 8 ώρες την ημέρα. Ο Β εργαζόμενος εργάσθηκε επί 9 ημέρες και επί 6 ώρες την ημέρα. Ο Γ εργαζόμενος εργάσθηκε επί 10 ημέρες και επί 8 ώρες την ημέρα. Ο Δ εργαζόμενος

Σελ. 8

εργάσθηκε επί 2 ημέρες και επί 3 ώρες την ημέρα. Ποιο είναι το κόστος εργασίας για κάθε έναν εργαζόμενο;

Μεριστέο ποσό 4.200,00 ευρώ.

Δοθέντες αριθμοί: (Α) 5 χ 8 = 40 ώρες, (Β) 9 χ 6 = 54 ώρες, (Γ) 10 χ 8 = 80 ώρες, (Δ) 2 χ 3 = 6 ώρες.

Οπότε: 40 + 54 + 80 + 6 = 182.

Ο μερισμός σε μέρη ανάλογα:

 

Υπολογισμοί μερισμού σε μέρη ανάλογα

Αναλογικό κόστος

(Α)

4.200,00 χ 40 / 180

933,33

(Β)

4.200,00 χ 54 / 180

1.260,00

(Γ)

4.200,00 χ 80 / 180

1.866,67

(Δ)

4.200,00 χ 6 / 180

140,00

 

Σύνολο

4.200,00

5.3. Μερισμός αριθμού σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα

Να μερισθεί ποσό 6.000,00 ευρώ σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα προς τους αριθμούς 12, 15 και 20. Οι δοθέντες αριθμοί παραπέμπουν σε λανθασμένες απαντήσεις που έδωσαν υποψήφιοι σε σύνολο 30 ερωτήσεων. Ο υποψήφιος που απάντησε αρνητικά, σε μεγαλύτερο αριθμό ερωτήσεων, θα δικαιούται μικρότερο ποσό επιβράβευσης, συνεπώς ο υποψήφιος που απάντησε σε μικρότερο αριθμό απαντήσεων αρνητικά, θα δικαιούται μεγαλύτερο ποσό επιβράβευσης.

Θα πρέπει να μεριστεί το ποσό των 6.000,00 ευρώ (μεριστέος αριθμός), σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα των δοθέντων αριθμών, άρα προς τους αντίστροφούς τους:

1 / 12, 1 / 15 και 1 /20

Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα με ΕΚΠ τον αριθμό 60.

5 / 60, 4 / 60 και 3 / 60

Συνεπώς, αρκεί να μερίσουμε το ποσό των 6.000,00 ευρώ σε μέρη ανάλογα των αριθμών 5, 4 και 3, δηλαδή προς τους αριθμητές των ομώνυμων κλασμάτων, οι οποίοι θα αντιπροσωπεύουν του δοθέντες αριθμούς:

5 + 4 + 3 = 12

Υποψήφιοι

Υπολογισμοί μερισμού σε μέρη ανάλογα

Αναλογικό κόστος

1.

6.000,00 χ 5 / 12

2.500,00

2.

6.000,00 χ 4 / 12

2.000,00

3.

6.000,00 χ 3 / 12

1.500,00

 

Σύνολο

6.000,00

Σελ. 9

6. Τετραγωνική ρίζα αριθμού

Είναι γνωστό ότι το τετράγωνο ενός αριθμού είναι το γινόμενο αυτού επί τον εαυτόν του. Έτσι, το τετράγωνο του αριθμού 5 είναι: 5 χ 5 = 25 και γράφεται: 52. Ο αριθμός 5 λέγεται τετραγωνική ρίζα του αριθμού 25 και συμβολίζεται με το ριζικό.

Συνεπώς, τετραγωνική ρίζα δοθέντος αριθμού λέγεται ο αριθμός, ο οποίος υψούμενος εις το τετράγωνο δίνει τον δοθέντα αριθμό.

7. Δύναμη αριθμού

7.1 Ορισμός

Δύναμη ενός αριθμού λέγεται κάθε γινόμενο, του οποίου όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι με τον αριθμό αυτόν. Κάθε ίσος παράγοντας μιας δύναμης ονομάζεται βάση αυτής, ο δε αριθμός των ίσων παραγόντων ονομάζεται βαθμός. Ο βαθμός της δύναμης ενός αριθμού διατυπώνεται με έναν άλλον αριθμό, ο οποίος ονομάζεται εκθέτης. Ο εκθέτης αναγράφεται στο άνω δεξιό μέρος του αριθμού, για παράδειγμα 83 και απαγγέλλεται: οκτώ στην τρίτη δύναμη. Σημειώνεται ότι, όταν ένας αριθμός είναι στην δευτέρα δύναμη, απαγγέλλεται «εις το τετράγωνο», ενώ αν είναι στην τρίτη δύναμη, απαγγέλλεται «εις τον κύβο». Έτσι, ο αριθμός 5 εις το τετράγωνο, γράφεται: 52 και είναι 5 χ 5 = 25, ενώ ο αριθμός 7 εις τον κύβο, γράφεται: 73 και είναι 7 χ 7 χ 7 = 343.

7.2 Παρατηρήσεις

• Κάθε δύναμη με βάση το μηδέν (0), είναι πάντα ίση με το μηδέν (0):

03 = 0 χ 0 χ 0 = 0

• Κάθε δύναμη με βάση το ένα (1), είναι πάντα ίση με το ένα (1):

15 = 1 χ 1 χ 1 χ 1 χ 1 = 1

• Κάθε δύναμη του 10 ισούται με αριθμό, ο οποίος σχηματίζεται με την μονάδα που ακολουθείται από τόσα μηδέν, όσα εκφράζει ο εκθέτης:

101 = 10, 102 = 100, 103 = 1.000, 104 = 10.000, 105 = 100.000 κ.ο.κ.

• Δεν πρέπει να συγχέεται η δύναμη ενός αριθμού με το γινόμενο αυτού:

64 = 6 χ 6 χ 6 χ 6 = 1.296 και όχι: 6 χ 4 = 24

• Κάθε αριθμός που γράφεται χωρίς εκθέτη, νοείται ότι υψώνεται στην πρώτη δύναμη, δηλαδή πρώτη δύναμη ενός αριθμού, διαφορετικού από το μηδέν , είναι ο ίδιος ο αριθμός:

7 = 71, 36 = 361, 537 = 5371 κ.ο.κ.

• Κάθε αριθμός (πλην του μηδενός) που υψώνεται σε μηδενική δύναμη ισούται με την μονάδα:

40 = 1, 560 = 1 κ.ο.κ.

Σελ. 10

7.3 Ιδιότητες των δυνάμεων

Ι. Πρώτη ιδιότητα:

Το γινόμενο δυνάμεων του ίδιου αριθμού (ίδια βάση), είναι δύναμη του αυτού αριθμού με εκθέτη το άθροισμα των εκθετών, δηλαδή όταν έχουμε ίσες βάσεις προσθέτουμε τους εκθέτες:

αμ χ αν χ ακ χ αλ = αμ+ν+κ+λ

Παράδειγμα:

32 χ 34 χ 33 = 32+4+3 = 39 = 19.683. Πράγματι: 32 χ 34 χ 33 = 9 χ 81 χ 27 = 19.683.

ΙΙ. Δεύτερη ιδιότητα:

Το πηλίκο δύο δυνάμεων με την ίδια βάση, ισούται με δύναμη του ίδιου αριθμού (βάση), αλλά με εκθέτη την διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου:

αμ / αν = αμ-ν

Υπενθυμίζεται ότι διαιρετέος είναι ο αριθμητής και διαιρέτης είναι ο παρανομαστής.

Παράδειγμα:

34 / 33 = 34-3 = 31 = 3. Πράγματι: 34 / 33 = 81 / 27 = 3.

ΙΙΙ. Τρίτη ιδιότητα

Ένα γινόμενο υψώνεται σε δύναμη, αν υψωθούν όλοι οι παράγοντές του στην δύναμη αυτήν:

(α χ β χ γ)μ = αμ χ βμ χ γμ

Παράδειγμα:

(3 χ 4 χ 7)3 = 33 χ 43 χ 73 = 27 χ 64 χ 343 = 592.704. Πράγματι: 843 = 592.704.

IV. Τέταρτη ιδιότητα

Για να υψώσουμε δύναμη αριθμού σε άλλη δύναμη, αρκεί να σχηματίσουμε δύναμη του αυτού αριθμού (βάση) με εκθέτη το γινόμενο των δύο εκθετών:

(αμ)ν = αμ . ν

Παράδειγμα:

(225)3 = 152 . 3 = 156 = 11.390.625. Πράγματι: 2253 = 11.390.625 ή 225 χ 3 φορές, αφού σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα είναι: 2251 χ 2251 χ 2251 = 2253.

Σελ. 11

V. Πέμπτη ιδιότητα

Εξ ορισμού, η ύψωση ενός μη μηδενικού αριθμού στη δύναμη -1 παράγει τον αντίστροφό του:

α-1 = 1 / α

Εάν έχουμε αριθμό (βάση) να υψώνεται σε αρνητικό εκθέτη, σχηματίζεται κλάσμα με αριθμητή την μονάδα και παρανομαστή τον αριθμό, αλλά με θετικό εκθέτη.

α-μ = 1 / αμ

Παράδειγμα:

15-2 = 1 / 152 = 1 / 225 = 0,0044444.

Πράγματι, σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα, είναι: 15-1 χ 15-1 = 1 / 15 χ 1 / 15 =

= 0,0666666 χ 0,0666666 = 0,0044444.

7.4 Εφαρμογή

Οι πλευρές δύο τετραγωνικών οικοπέδων έχουν άθροισμα 57 μ. ενώ η διαφορά των εμβαδών τους είναι 855 τμ. Ζητείται η διαφορά των περιμέτρων τους.

Λύση:

Αν είναι α και β οι πλευρές των οικοπέδων αντιστοίχως, τα εμβαδά θα είναι α2 και β2 και σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος: α + β = 57 και α2 – β2 = 855. Η ταυτότητα α2 - β2 ονομάζεται διαφορά τετραγώνων και ισούται με το γινόμενο:

(α + β) χ (α - β). Με αντικατάσταση παίρνουμε:

855 = 57 χ (α - β) ⇒ (α - β) = 855 / 57 = 15 μ.

Ωστόσο, αφού τα οικόπεδα είναι τετραγωνικά, η διαφορά των περιμέτρων τους θα είναι:

4 x α – 4 x β ή 4 χ (α – β).

Αλλά ήδη γνωρίζουμε ότι: (α – β) = 15, συνεπώς η διαφορά είναι: 4 χ 15 = 60 μ.

Ασκήσεις προς λύση

1. Τα 25 μέτρα πλαστικής σωλήνας κοστίζουν 130 ευρώ. Πόσο κοστίζουν τα 15 μέτρα; (Απάντηση: 78 ευρώ).

2. Ένα αυτοκίνητο διανύει 500 χιλιόμετρα και καταναλώνει 45 λίτρα βενζίνης. Με τις ίδιες συνθήκες δρόμου και ταχύτητας, πόσα λίτρα απαιτούνται για μία απόσταση 350 χιλιομέτρων; (Απάντηση: 31,50 λίτρα).

Σελ. 12

3. Έμπορος επώλησε εμπορεύματα τα οποία είχαν κόστος αγοράς 36.500 ευρώ. Η πώληση έγινε με κέρδος 18% επί του κόστους. Πόσα κέρδισε σε ευρώ; (Απάντηση: 6.570 ευρώ).

4. Έμπορος πωλεί εμπορεύματα κόστους 3.000 ευρώ αντί 4.200 ευρώ. Πόσο τοις % κερδίζει επί του κόστους και επί των πωλήσεων: (Απάντηση: 40% και 28,57%).

5. Έμπορος πωλεί εμπορεύματα με ζημιά 20%, αντί 16.000 ευρώ. Ποια είναι η αξία κόστους του εμπορεύματος; (Απάντηση: 20.000 ευρώ).

6. Πατέρας ηλικίας 43 ετών έχει δύο παιδιά ηλικίας 18 και 13 ετών αντίστοιχα. Μετά πόσα έτη η ηλικία του πατέρα θα είναι ίση με το άθροισμα των ηλικιών των δύο παιδιών του; [Υπόδειξη: Συγκρίνετε την διαφορά ηλικίας του πατέρα με το πρώτο παιδί (43 – 18 = 25) και ακολουθείστε λογικό συνειρμό]. (Απάντηση: Μετά 12 έτη).

7. Εργαζόμενος καταναλώνει κάθε μήνα 2.760 ευρώ για τις ανάγκες του και στο τέλος του έτους (μετά από 12 μήνες) έχει έλλειμμα 3.360 ευρώ (οφείλει αυτό το ποσό σε τρίτους). Με δεδομένο ότι το εισόδημά του παραμένει σταθερό, ποιο ποσό πρέπει να καταναλώνει μηνιαίως, ώστε να έχει πλεόνασμα 2.160 ευρώ; (Απάντηση: 2.300 ευρώ).

8. Έμπορος πωλεί το είδος «Α» προς 57,50 ευρώ το κιλό και κερδίζει 15% επί του κόστους αγοράς. Πόσο θα ήταν το κέρδος του επί τοις % κόστους αγοράς, αν πωλούσε το είδος αυτό κατά 1,50 ευρώ ακριβότερο; (Απάντηση: 18%).

9. Να εκτελεστούν οι πράξεις:

(α) (-1)1 + (-1)-1 + (-1)2 + (-1)-2 + (-1)0 + 10

(β) 2-2 + 4-1 + 30 – 81 + (-1)-2

10. Να γραφούν υπό μορφή δύναμης οι αριθμοί:

10, -10, 0,1, -8, - 16 / 9, 100, -100, -0,001, -1.000, - 1 / 8.

11. Τέσσερις συνιδιοκτήτες οικοπέδου πωλούν το οικόπεδο αυτό αντί 160.000 ευρώ. Αν γνωρίζετε ότι στον Α αναλογεί το 1/5 του οικοπέδου, στον Β τα 3/8 αυτού, στον Γ τα 3/10 και στον Δ το υπόλοιπο, να ευρεθεί το ποσό των χρημάτων που θα λάβει έκαστος. (Απάντηση: Α 32.000, Β 60.000, Γ 48.000 και Δ 20.000).

12. Να μερισθεί ο αριθμός 99 αναλόγως των αριθμών: 2, 3, 4 και των αριθμών: 1, 1/2, 1/3.

13. Να μερισθεί ο αριθμός 390 αντιστρόφως αναλόγως των αριθμών: 2, 3, 4 και των αριθμών:

5/2, 5/6, 1.

14. Εάν προσθέσουμε σε έναν αριθμό χ το τετραπλάσιο αυτού, προκύπτει άλλος αριθμός κατά 8/25 μικρότερος του 10,32. Ποιος είναι ο αριθμός;

15. Δια ποιου αριθμού πρέπει να διαιρεθεί ο αριθμός 744 για να προκύψει πηλίκο 14 και υπόλοιπο 44; (Απάντηση: 50)


1 . Μνημονικός κανόνας για το μέγεθος «π» (ο αριθμός των γραμμάτων του αποφθέγματος, αντιστοιχεί στα αριθμητικά στοιχεία που συγκροτούν το «π»): «Αεί, ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί».

Σελ. 13

Β. ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1. Ο τόκος των χρηματικών κεφαλαίων

2. Υπολογισμός του απλού τόκου

2.1. Εύρεση του τόκου, του κεφαλαίου, του χρόνου και του επιτοκίου

2.2. Υπολογισμός των τοκοφόρων ημερών

2.3. Ο Τοκάριθμος και ο Σταθερός Διαιρέτης

2.4. Το μέσο επιτόκιο

2.5. Κεφάλαιο αυξημένο ή ελαττωμένο κατά τον τόκο του

3. Εφαρμογές επί του απλού τόκου

4. Ασκήσεις απλού τόκου προς λύση

1. Ο τόκος των χρηματικών κεφαλαίων

Τόκος είναι η απόδοση που προκύπτει από την χρήση ή την εκμετάλλευση χρηματικού κεφαλαίου. Όταν το χρηματικό κεφάλαιο ανήκει σε αυτόν που το χρησιμοποιεί ή το εκμεταλλεύεται, τότε ο τόκος που υπολογίζεται είναι το ποσό που θα προέκυπτε αν είχε διαθέσει το κεφάλαιο αυτό σε άλλον. Ο τόκος αυτός ονομάζεται εναλλακτικός τόκος ή τόκος ιδίων κεφαλαίων. Στην περίπτωση που το χρηματικό κεφάλαιο είναι δανειακό τότε αυτός που το χρησιμοποιεί ή το εκμεταλλεύεται, καταβάλλει ένα ­είδος αποζημίωσης, δηλαδή αυτό που ονομάζεται τόκος - έξοδο.

Επισημαίνεται ότι τέτοια αποζημίωση υπάρχει και για την χρήση ή εκμετάλλευση μη χρηματικών κεφαλαίων όπως είναι τα ακίνητα, τα μηχανήματα, τα διπλώματα ευρεσιτεχνίας κ.λπ. Η αποζημίωση όμως εδώ, ανάλογα με την περίπτωση λέγεται ενοίκιο, δικαίωμα χρήσης, δικαίωμα εκμετάλλευσης κ.λπ.

Τα χρηματικά κεφάλαια που χρειάζεται ένα άτομο, μία επιχείρηση ή γενικότερα μία οικονομική οντότητα προέρχονται από ίδιες ή από ξένες πηγές, δηλαδή είναι ίδια ή ξένα κεφάλαια. Τα ξένα κεφάλαια προέρχονται από δανεισμό ή από αγορές με πίστωση, ανάλογα με τον χρόνο που παραμένει το κεφάλαιο αυτό στην οικονομική οντότητα. Ο δανεισμός των χρηματικών κεφαλαίων πραγματοποιείται κυρίως από πιστωτικά ιδρύματα (Τράπεζες).

Στη σύγχρονη κοινωνία, τα χρηματικά κεφάλαια που διαθέτουν οι διάφοροι αποταμιευτές ή άλλοι επενδυτές κεφαλαίων είτε χορηγούνται απευθείας στους οικονομικούς

Σελ. 14

οργανισμούς ή οντότητες που τα έχουν ανάγκη, με μορφή δανείων (με προσωπική πίστη, με εγγραφή προσημείωσης, με ενέχυρο ή υποθήκη ή με την σύναψη ομολογιακών δανείων) είτε συγκεντρώνονται από τις Τράπεζες και τους λοιπούς πιστωτικούς οργανισμούς με την μορφή καταθέσεων και από εκεί διοχετεύονται μέσω πιστώ­σεων, στις οικονομικές οντότητες που θα τα αξιοποιήσουν επιχειρηματικά.

Έτσι, τα χρηματικά αυτά κεφάλαια, χρησιμοποιούνται από επιχειρήσεις για επενδύσεις μηχανολογικού και λοιπού εξοπλισμού, για αγορά πρώτων και βοηθητικών υλών κ.λπ. με σκοπό την συγκρότηση της παραγωγής των προϊόντων και την οργάνωση της εργασίας τους. Η απόκτηση των κεφαλαίων αυτών από τους αποταμιευτές ή τους επενδυτές απευθείας, ή διά μέσου των τραπεζών, αποσκοπεί τόσο στην αύξηση της παραγωγής των αγαθών από επιχειρήσεις όσο και στην αύξηση του εισοδήματος των επενδυτών. Συνέπειες αυτής της διαδικασίας είναι η μείωση της τιμής και η ποιοτική βελτίωση των παραγομένων αγαθών ή των παρεχομένων υπηρεσιών με την χρησιμοποίηση προηγμένων τεχνολογικά μηχανημάτων, συστημάτων παραγωγής κ.λπ., η αύξηση της ζήτησής τους και πιο γενικά η βελτίωση του βιοτικού επιπέδου των μελών της κοινωνίας.

Το ποσό του τόκου που καταβάλλεται για την χρήση ή εκμετάλλευση των χρηματικών κεφαλαίων, προσδιορίζεται ανάλογα, με το ύψος του ποσού του κεφαλαίου, τον χρόνο και το επιτόκιο. Ο τόκος συμβολίζεται με το Ι (Interest).

Κεφάλαιο ή Χρηματικό Κεφάλαιο λέγεται κάθε χρηματικό ποσό που διατίθεται για χρήση ή εκμετάλλευση, όπως για επενδύσεις, για αγορά αγαθών προς εκμετάλλευση ή αγορά αγαθών προς κατανάλωση. Το Κεφάλαιο συμβολίζεται με το Κ.

Χρόνος, λέγεται το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από την λήψη μέχρι την επιστροφή του κεφαλαίου. Αναλόγως με τον χρόνο που τοκίζεται το κεφάλαιο οι οικονομικές πράξεις διακρίνονται σε βραχυπρόθεσμες και σε μακροπρόθεσμες.

(α) Βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, λέγονται οι πράξεις μικρής χρονικής διάρκειας, κυρίως μέχρι τρεις μήνες, αλλά σε μερικές περιπτώσεις μέχρι και δύο έτη. Το χαρακτηριστικό των βραχυπρόθεσμων οικονομικών πράξεων είναι ότι ο τόκος υπολογίζεται στο τέλος της περιόδου και δεν υπολογίζεται τόκος επί του τόκου. Τα προβλήματα των βραχυπρόθεσμων οικονομικών πράξεων, λέγονται και προβλήματα απλού τόκου.

(β) Μακροπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, ονομάζονται οι πράξεις που η χρονική διάρκειά τους είναι κατά κανόνα πάνω από ένα ή δύο έτη, και το χαρακτηριστικό τους είναι ότι ο τόκος προστίθεται στο κεφάλαιο στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου (συνήθως 6 μήνες ή 1 έτος) και γίνεται ποσό τοκοφόρο. Τα προβλήματα των μακροπρόθεσμων οικονομικών πράξεων, λέγονται σύνθετα προβλήματα τόκου ή προβλήματα ανατοκισμού.

Ο Χρόνος μετράται σε έτη, μήνες και ημέρες. Ειδικά όταν πρόκειται για ημέρες, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες μέθοδοι, από τις οποίες οι δύο τελευταίες έχουν επινοηθεί για την απλούστευση των υπολογισμών. Οι μέθοδοι αυτές είναι:

Σελ. 15

(α) Πολιτικό έτος. Εδώ υπολογίζονται κανονικά οι ημέρες του κάθε μήνα, όπως στο ημερολογιακό έτος, δηλαδή οι μήνες έχουν 28 ή 29 για Φεβρουάριο, 30 και 31 ημέρες και το έτος 365 ή 366 ημέρες (δίσεκτο).

(β) Εμπορικό έτος. Εδώ θεωρείται ότι κάθε μήνας έχει 30 ημέρες και συνεπώς το έτος 360 ημέρες.

(γ) Μικτό έτος. Εδώ έχουμε στοιχεία των δύο προηγούμενων μεθόδων, όπου κάθε μήνας έχει τις κανονικές του ημέρες αλλά το έτος θεωρείται ότι αποτελείται από 360 ημέρες. Η μέθοδος δηλαδή αυτή, ως προς τις ημέρες κάθε μήνα μοιάζει με το πολιτικό έτος και ως προς τις συνολικές ημέρες του έτους με το εμπορικό. Το μικτό έτος εφαρμόζεται στην Ελλάδα και στις περισσότερες χώρες.

Στην ανάλυση που θα ακολουθήσει, αν δεν διευκρινίζεται το έτος που χρησιμοποιείται, θα θεωρείται ότι το έτος αυτό είναι μικτό, δηλαδή κάθε μήνας έχει τις κανονικές του ημέρες 28 ή 29, 30 και 31 και όλο το έτος έχει 360 ημέρες.

Ο χρόνος συμβολίζεται με τα σύμβολα n, όταν πρόκειται για έτη, μ για μήνες και ν για ημέρες.

Στην Ελλάδα ορισμένα πιστωτικά ιδρύματα, όταν δανείζουν, θεωρούν τοκοφόρες ημέρες τόσο την ημέρα καταβολής του δανείου όσο και την ημέρα είσπραξής του, ενώ όταν δανείζονται θεωρούν ότι η ημέρα δανεισμού δεν είναι τοκοφόρος. Έτσι, όταν πραγματοποιείται μια κατάθεση ενός ιδιώτη σε λογαριασμό π.χ. ταμιευτηρίου (οπότε η τράπεζα θεωρείται ότι δανείζεται) η πρώτη ημέρα δεν είναι τοκοφόρος. Όταν όμως η Τράπεζα χορηγεί δάνειο, ενδέχεται να υπολογίζει τόκο, τόσο για την πρώτη ημέρα δανεισμού, όσο και για την τελευταία.

Επιτόκιο λέγεται η μονάδα μέτρησης του τόκου σε μία χρονική περίοδο. Το επιτόκιο εκφράζεται σε ποσοστό επί τοις εκατό π.χ. 8%, 12%, 14% κ.λπ. Είναι δηλαδή ο τόκος των 100 νομισματικών μονάδων σε μία χρονική περίοδο που κατά κανόνα είναι το έτος. Στα Οικονομικά Μαθηματικά το επιτόκιο, για ευκολία των υπολογισμών στην λύση των προβλημάτων, θεωρείται ότι είναι ο τόκος μίας νομισματικής μονάδας σε μία χρονική περίοδο. Έτσι το 8% είναι ο αριθμός 0,08, το 12% ο αριθμός 0,12, το 15% ο αριθμός 0,15 κ.ο.κ. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται απόλυτοι αριθμοί, όπως σημειώθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο.

Σύμφωνα με τα ισχύοντα στην τραπεζική - πιστωτική αγορά, τα επιτόκια αντανακλούν την ζήτηση των κεφαλαίων και του χρήματος, ανάλογα με το είδος της επιχείρησης και τους σκοπούς χρησιμοποίησης αυτών. Όταν το επιτόκιο επιχορηγείται από διάφορα αναπτυξιακά προγράμματα, μέρος του τόκου είναι δυνατόν να καταβάλλεται στο πιστωτικό ίδρυμα από το κράτος. Το ίδιο συμβαίνει σε περιπτώσεις χορήγησης δανείων σε πρόσωπα που βρίσκονται σε έκτακτες συνθήκες, όπου το επιτόκιο είναι πολύ μικρό, επειδή ένα μέρος του καλύπτεται από το κράτος. Ωστόσο, αυτή η διαδικασία δεν εξετάζεται από τα Οικονομικά Μαθηματικά.

Το επιτόκιο συμβολίζεται με το γράμμα i.

Σελ. 16

2. Υπολογισμός του απλού τόκου

2.1. Εύρεση του τόκου, του κεφαλαίου, του χρόνου και του επιτοκίου

Τα προβλήματα των βραχυπρόθεσμων οικονομικών πράξεων λύνονται με υπολογισμό του απλού τόκου, χωρίς δηλαδή υπολογισμό τόκου πάνω στον τόκο (ανατοκισμός). Σύμφωνα με όσα έχουν ήδη αναφερθεί, μία νομισματική μονάδα δίνει σε μία χρονική περίοδο (κατά κανόνα ένα έτος), τόκο i νομισματικών μονάδων. Αν τοκίσουμε Κ νομισματικές μονάδες για n χρονικές μονάδες (έτη), ο τόκος είναι I.

Η κατάταξη του προβλήματος αυτού είναι:

(α) Για έτη: 1 νομισματική μονάδα, σε 1 έτος δίνει τόκο i K νομισματικές μονάδες, σε n έτη πόσο τόκο (Ι) δίνουν;

Οπότε έχουμε:

(β) Για μήνες: 1 νομισματική μονάδα, σε 12 μήνες δίνει τόκο i K νομισματικές μονάδες, σε μ μήνες πόσο τόκο (I) δίνουν;

Οπότε έχουμε:

(γ) Για ημέρες: 1 νομισματική μονάδα σε 360 ημέρες δίνει τόκο i Κ νομισματικές μονάδες σε ν ημέρες πόσο τόκο (Ι) δίνουν;

Οπότε έχουμε:

μικτό ή εμπορικό έτος:

ενώ αν πρόκειται για πολιτικό έτος είναι:

Σημειώνεται ότι ο τύπος του τόκου είναι δυνατόν να προκύψει και με τους ακόλουθους συλλογισμούς:

1 νομ. μονάδα σε 1 έτος δίνει τόκο i

2 νομ. μονάδες σε 1 έτος δίνουν τόκο 2 x 1 x i

2 νομ. μονάδες σε 2 έτη δίνουν τόκο 2 x 2 χ i

3 νομ. μονάδες σε 3 έτη δίνουν τόκο 3 x 3 χ i

......................................................................

K νομ. μονάδες σε η έτη δίνουν τόκο Κ x η χ i

Σελ. 17

Επομένως ο τύπος με τον οποίο βρίσκουμε τον τόκο είναι (έτη - μήνες - ημέρες):

Σε περίπτωση που ο τόκος, ο οποίος προκύπτει από κάποιο χρηματικό κεφάλαιο είναι γνωστός και ζητείται κάποια άλλη μεταβλητή, τότε λύνουμε την παραπάνω εξίσωση, ως προς την μεταβλητή αυτή και έχουμε:

(α) Αν αναζητείται το κεφάλαιο Κ:

Τότε διαιρούμε το άλλο μέρος της ισότητας με τους συντελεστές του άγνωστου Κ και έχουμε:

Κ = Ι n x i

(β) Αν είναι άγνωστος ο χρόνος n:

Ομοίως, έχουμε:

η = Ι Κ x i

(γ) Αν είναι άγνωστο το επιτόκιο i:

Ομοίως, έχουμε:

i = Ι Κ x n

Από τις πιο πάνω ισότητες παρατηρούμε ότι κάθε συντελεστής εκτός από τον τόκο βρίσκεται αν διαιρέσουμε το ποσό του τόκου δια του γινομένου των λοιπών συντελεστών.

Αν πρόκειται για μήνες ή ημέρες οι αντίστοιχοι τύποι είναι:

(α) Για μήνες

Από τον τύπο: Ι = Κ x μ x i , παίρνουμε: 12 x Ι = Κ x μ x i12

μ = 12 x Ι Κ x i

Κατά τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι:

Κ = 12 x Ι μ x i

(για κεφάλαιο)

i = 12 x Ι K x μ

(για επιτόκιο)

Σελ. 18

(β) Για ημέρες

– Αν πρόκειται για μικτό ή εμπορικό έτος:

Ι = Κ x ν x i ⇒ 360 x Ι = Κ x ν x i360

ν = 360 x Ι K x i

 

K = 360 x I ν x i

 

i = 360 x I Κ x ν

– Αν πρόκειται για πολιτικό έτος τότε αντί του 360 θέτουμε τον αριθμό των ημερών 365 ή 366 (για δίσεκτο).

Παραδείγματα εύρεσης τόκου, κεφαλαίου, επιτοκίου (ο χρόνος σε έτη, χωρίς ανατοκισμό στο τέλος κάθε έτους)

(α) Πόσο τόκο δίνει κεφάλαιο 10.000 ευρώ, αν τοκιστεί για 3 έτη με επιτόκιο 5%;

Έχουμε: Ι = Κ x n x i ή Ι =10.000,00 x 3 x 0,05 = 1.500,00 ευρώ

(β) Ποιο κεφάλαιο αν τοκιστεί για 3 έτη με επιτόκιο 6% δίνει τόκο 1800 ευρώ;

Έχουμε: Κ = ΙΚ = 1.800,00 = 1.800,00 = 10.000,00 ευρώ n x i 3 x 0,06 0,18

(γ) Για πόσο χρόνο τοκίστηκε κεφάλαιο 10.000 ευρώ προς 4% και έδωσε τόκο 1200 ευρώ;

Έχουμε: n = In = 1.200,00 = 1.200,00 = 3 έτη Κ x i 10.000,00 x 0,04 400,00

(δ) Προς ποιο επιτόκιο τοκίστηκε κεφάλαιο 10.000 ευρώ, για 3 έτη και έδωσε τόκο 3000 ευρώ;

Έχουμε: i = Ii = 3.000,00 = 3.000,00 = 0,10 ή 10% K x n 10.000,00 x 3 30.000,00

Παραδείγματα όταν ο χρόνος δίνεται σε μήνες και ημέρες

(α) Πόσο τόκο δίνουν 3.000 ευρώ αν τοκιστούν για 1 έτος και 2 μήνες, με επιτόκιο 4%;

Μετατρέπουμε το έτος σε μήνες και έχουμε 12 + 2 = 14 μήνες.

Από τον τύπο του τόκου παίρνουμε:

Ι = Κ x μ x iI = 3.000,00 x 14 x 0,04 = 140 ευρώ 12 12

(β) Πόσο τόκο δίνουν 9.000 ευρώ αν τοκιστούν προς 5% για 70 ημέρες;

(Να υπολογιστεί ο τόκος για έτος μικτό ή εμπορικό και για έτος πολιτικό.)

– Για έτος μικτό ή εμπορικό είναι: Ι = 9.000,00 x 70 x 0,05 = 87,50 ευρώ 360

Σελ. 19

– Για έτος πολιτικό είναι: Ι = 9.000,00 x 70 x 0,05 = 86,30 ευρώ 365

Σημειώνεται ότι αν ο χρόνος ήταν σε μήνες, για το εμπορικό έτος κάθε μήνας θα είχε 30 ημέρες.

2.2. Υπολογισμός των τοκοφόρων ημερών

Στις περιπτώσεις που δίνεται ο χρόνος από μία συγκεκριμένη ημερομηνία μέχρι μία άλλη π.χ. από 14 Μαρτίου μέχρι 14 Μαΐου του 2021 τότε, θα πρέπει να έχουμε την πληροφορία, αν η πρώτη ημέρα είναι ή δεν είναι τοκοφόρα. Αν η πρώτη ημέρα δεν είναι τοκοφόρα, τότε ο υπολογισμός των ημερών γίνεται:

(α) Για μικτό και πολιτικό έτος

(β) Για εμπορικό έτος (όλοι οι μήνες έχουν από 30 ημέρες)

Επομένως, όπως ήδη έχει αναφερθεί για το πολιτικό και μικτό έτος οι ημέρες υπολογίζονται κανονικά όπως και στο ημερολογιακό έτος, ενώ για το εμπορικό κάθε μήνας έχει 30 ημέρες. Αντιθέτως, αν η πρώτη ημέρα του χρονικού διαστήματος θεωρείται τοκοφόρα, τότε αντιστοίχως θα ήταν 61 ημέρες για το μικτό και πολιτικό έτος και 60 ημέρες για το εμπορικό έτος. Υπενθυμίζεται ότι το σύνολο των ημερών του έτους στην περίπτωση του πολιτικού έτους είναι 365, ενώ για το εμπορικό ή μικτό είναι 360 ημέρες.

2.3. Ο Τοκάριθμος και ο Σταθερός Διαιρέτης

Οι εμπορικές πράξεις απαιτούν ταχύτητα υπολογισμών. Αυτός βασικά είναι ο λόγος που τα διάφορα προβλήματα πρέπει να λύνονται με τον πιο απλό και σύντομο τρόπο. Η παραμετροποίηση και η ανάπτυξη των υπολογιστικών προγραμμάτων, μέσω των αλγορίθμων, έχει βοηθήσει προς αυτή την κατεύθυνση, ώστε να προκύπτουν αμέσως και με ασφάλεια οι αριθμητικές τιμές των μεταβλητών. Στα προβλήματα του τόκου, ειδικότερα δε όταν πρόκειται για τον τόκο κεφαλαίων τα οποία τοκίζονται σε διαφορετικούς χρόνους, αλλά με το ίδιο επιτόκιο, χρησιμοποιείται για την απλούστευση των

Σελ. 20

πράξεων ο τοκάριθμος και ο σταθερός διαιρέτης. Τα μεγέθη αυτά έχουν εισαχθεί στα προγράμματα υπολογισμού του τόκου και στα συστήματα ηλεκτρονικών υπολογιστών των τραπεζών.

Back to Top